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新版 演習微分積分（１）
2025-09-26
ノート / Notes
数学 / Math
/
日本語 / Japanese
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中国語 / Chinese

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このメモは本の６－８ページを参照しています。

無限級数の収束性と p 級数の判定法#

1. 基本性質：級数が収束すると項は 0 に近づく#

無限級数

∑n=1∞an=S\sum_{n=1}^\infty a_n = S

が収束するとする。部分和

SN=∑n=1NanS_N = \sum_{n=1}^N a_n

が極限 SS に収束する場合、

an=Sn−Sn−1→S−S=0a_n = S_n - S_{n-1} \to S - S = 0

結論：級数が収束する場合、項 ana_n は 0 に近づく。

注意：逆は成り立たない。例えば調和級数 ∑1/n\sum 1/n は項が 0 に近づくが、級数は発散する。

2. 調和級数#

調和級数：

∑n=1∞1n\sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n}

は代表的な発散級数である。
積分比較法により証明できる：

∑n=1N1n≥∫1N1x dx=ln⁡N→∞\sum_{n=1}^N \frac{1}{n} \ge \int_1^N \frac{1}{x}\,dx = \ln N \to \infty

3. Cauchy の収束判定法#

級数 ∑an\sum a_n が収束するのは次の条件と同値である：

任意の ε>0\varepsilon > 0 に対し、ある NN が存在して、全ての m>n>Nm>n>N に対して

∣an+1+an+2+⋯+am∣<ε|a_{n+1} + a_{n+2} + \cdots + a_m| < \varepsilon

が成り立つ。

部分和列 {Sn}\{S_n\} が Cauchy 列であること ⇔ 収束。

4. 比較判定法#

正の単調列 an,bna_n, b_n が存在して、十分大きな nn に対して

0≤an≤bn0 \le a_n \le b_n

が成り立つ場合：

  • ∑bn\sum b_n が収束するなら ∑an\sum a_n も収束
  • ∑an\sum a_n が発散するなら ∑bn\sum b_n も発散

5. p 級数#

p 級数は

∑n=1∞1np,p∈R\sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n^p}, \quad p\in \mathbb{R}

で定義される。

結論：

∑n=1∞1np は収束   ⟺  p>1\sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n^p} \text{ は収束 } \iff p>1∑n=1∞1np は発散   ⟺  0<p≤1\sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n^p} \text{ は発散 } \iff 0<p\le 1

5.1 積分判定法による証明#

関数 f(x)=x−pf(x) = x^{-p} は [1,∞)[1,\infty) 上で連続、単調減少、非負である。積分判定法により：

∑n=1∞f(n) は ∫1∞f(x) dx と同じ収束性を持つ\sum_{n=1}^\infty f(n) \text{ は } \int_1^\infty f(x)\,dx \text{ と同じ収束性を持つ}

(1) p>1p>1 の場合#

∫1∞1xp dx=lim⁡t→∞x1−p1−p∣1t=lim⁡t→∞t1−p−11−p=1p−1<∞\int_1^\infty \frac{1}{x^p} \, dx = \lim_{t\to\infty} \frac{x^{1-p}}{1-p}\Big|_1^t = \lim_{t\to\infty} \frac{t^{1-p}-1}{1-p} = \frac{1}{p-1} < \infty

収束

(2) p=1p=1 の場合#

∫1∞1x dx=lim⁡t→∞ln⁡t=∞\int_1^\infty \frac{1}{x}\,dx = \lim_{t\to\infty} \ln t = \infty

発散（調和級数）

(3) p<1p<1 の場合#

∫1∞1xp dx=lim⁡t→∞t1−p−11−p=∞\int_1^\infty \frac{1}{x^p}\,dx = \lim_{t\to\infty} \frac{t^{1-p}-1}{1-p} = \infty

発散

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5.2 Cauchy 圧縮検証#

正の単調減少列 ana_n に対して

∑n=1∞an は ∑k=0∞2ka2k と同じ収束性を持つ\sum_{n=1}^\infty a_n \text{ は } \sum_{k=0}^\infty 2^k a_{2^k} \text{ と同じ収束性を持つ}

pp 級数の場合 an=n−pa_n = n^{-p} とすると：

∑k=0∞2ka2k=∑k=0∞2k⋅(2k)−p=∑k=0∞2k(1−p)\sum_{k=0}^\infty 2^k a_{2^k} = \sum_{k=0}^\infty 2^k \cdot (2^k)^{-p} = \sum_{k=0}^\infty 2^{k(1-p)}

これは等比級数で、公比 r=21−pr = 2^{1-p}：

  • p>1p>1 のとき r<1r<1 → 収束
  • p≤1p \le 1 のとき r≥1r \ge 1 → 発散

積分法と同じ結論

6. まとめ#

  • 項が 0 に近づくことは収束の必要条件
  • 調和級数は項が 0 でも発散
  • Cauchy 判定法は級数の根本的判定
  • 比較判定法は既知級数との比較で便利
  • p 級数は p>1p>1 で収束、それ以外は発散

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新版 演習微分積分（１）
https://yirong.site/posts/0023/
Author
Yirong Zhou
Published at
2025-09-26
License
CC BY-NC-SA 4.0
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